Bornsche Näherung - Versionsgeschichte

Schubotz am 23. September 2010 um 11:57 Uhr

2010-09-23T11:57:25Z

← Nächstältere Version		Version vom 23. September 2010, 13:57 Uhr
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	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>

	Die '''Bornsche Näherung''' ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien		Die '''Bornsche Näherung''' ist eine störungstheoretische Näherung für '''große Einfallsenergien'''

	:<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>		:<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>
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	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung		Es folgt für die {{FB\|Streuamplitude}} in erster Bornscher Näherung

	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
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	Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials <math>V(\bar{r})</math>.		Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials <math>V(\bar{r})</math>.

	Das Problem kann für ~~Kugelsymmetrische~~ Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)		Das Problem kann für kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)

	Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math> durch <math>\vartheta ,\phi </math> parametrisiert werden!		Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math> durch <math>\vartheta ,\phi </math> parametrisiert werden!
Zeile 45:		Zeile 45:
	:<math>K=\left\| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right\|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>		:<math>K=\left\| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right\|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>

	Die Integration <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}}</math>		Die Integration <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}}</math> erfolgt in Kugelkoordinaten um die <math>\bar{K}</math>- Achse:

	erfolgt in Kugelkoordinaten um die <math>\bar{K}</math>- Achse:
	:<math>\bar{K}\bar{r}\acute{\ }=Kr\acute{\ }\cos \vartheta </math>		:<math>\bar{K}\bar{r}\acute{\ }=Kr\acute{\ }\cos \vartheta </math>

Zeile 79:		Zeile 77:
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.		Anwendungsbeispiel ist die {{FB\|Rutherford-Streuung}}.
	Dies ist die Streuung eines Z<sub>1</sub>- fach geladenen Teilchens an einem Z<sub>2</sub>- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß		Dies ist die Streuung eines Z<sub>1</sub>- fach geladenen Teilchens an einem Z<sub>2</sub>- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß
	:<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>		:<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>
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	Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.		Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.
	Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung!!		Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial '''zwei Fehler''' gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung!!


	~~<u>Nebenbemerkung:</u>~~

	Für <math>\vartheta \to 0</math> divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch <math>\sigma </math> divergiert in diesem Fall.		{{Bemerkung\|<u>Nebenbemerkung:</u> Für <math>\vartheta \to 0</math> divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch <math>\sigma </math> divergiert in diesem Fall.}}
	====Systematische Störungsentwicklung====		====Systematische Störungsentwicklung====
	Man kann eine {{FB\|Bornsche Reihe}} Bilden. Dies ist die Iteration der {{FB\|Lippmann-Schwinger-Gleichung}}:		Man kann eine {{FB\|Bornsche Reihe}} Bilden. Dies ist die Iteration der {{FB\|Lippmann-Schwinger-Gleichung}}:

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (4)

2010-09-12T22:35:00Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (4)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T14:35:47Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 16:35 Uhr
Zeile 81:		Zeile 81:
	Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.		Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.
	Dies ist die Streuung eines Z<sub>1</sub>- fach geladenen Teilchens an einem Z<sub>2</sub>- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß		Dies ist die Streuung eines Z<sub>1</sub>- fach geladenen Teilchens an einem Z<sub>2</sub>- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß
	<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>		:<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>

	Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten.		Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten.
	Einzige Lösung ist das {{FB\|Yukawa-Potenzial}}		Einzige Lösung ist das {{FB\|Yukawa-Potenzial}}
	<math>V(r)=\begin{matrix}		:<math>V(r)=\begin{matrix}
	\lim \\		\lim \\
	\kappa \to 0 \\		\kappa \to 0 \\

Schubotz: /* Systematische Störungsentwicklung */

2010-09-10T13:12:35Z

Systematische Störungsentwicklung

← Nächstältere Version		Version vom 10. September 2010, 15:12 Uhr
Zeile 98:		Zeile 98:
	Für <math>\vartheta \to 0</math> divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch <math>\sigma </math> divergiert in diesem Fall.		Für <math>\vartheta \to 0</math> divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch <math>\sigma </math> divergiert in diesem Fall.
	====Systematische Störungsentwicklung====		====Systematische Störungsentwicklung====
	Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der {{FB\|Lippmann-Schwinger-Gleichung}}:		Man kann eine {{FB\|Bornsche Reihe}} Bilden. Dies ist die Iteration der {{FB\|Lippmann-Schwinger-Gleichung}}:
	:<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\		& \left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
Zeile 108:		Zeile 108:
	& \left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| \Phi \right\rangle =\left( 1+\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle \\		& \left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| \Phi \right\rangle =\left( 1+\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle \\
	& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\		& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math> (Erste Bornsche Näherung)
	Erste Bornsche Näherung		:<math>\left\| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Zweite Bornsche Näherung)
	:<math>\left\| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle </math>
	Zweite Bornsche Näherung
	... usw.... ...		... usw.... ...
	:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left\| \Phi \right\rangle </math>		:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Bornsche Reihe)
	Bornsche Reihe
	Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.		Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.

Schubotz am 10. September 2010 um 13:10 Uhr

2010-09-10T13:10:16Z

Änderungen zeigen

Schubotz am 7. September 2010 um 22:37 Uhr

2010-09-07T22:37:23Z

← Nächstältere Version		Version vom 8. September 2010, 00:37 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>

	Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien		Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|3}} Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien $\frac{{{\hbar }^{2}}{{{…“$

2010-08-24T23:35:42Z

Die Seite wurde neu angelegt: „{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|3}} Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien <math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{…“

Neue Seite

{{Scripthinweis|Quantenmechanik|6|3}}

Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien

<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>

In diesem Fall kann <math>{{H}^{(1)}}(\bar{r})</math>

als kleine Störung betrachtet werden

Für die erste Ordnung Störungsrechnung der Lippmann- Schwinger - Gleichung setzt man an:

<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle </math>

Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt !

<u>'''Man nennt den Schritt'''</u>

<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle </math>

auch ERSTE BORNSCHE NÄHERUNG

In Ortsdarstellung schreibt sichs dann:

<math>\begin{align}

& {{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{\Psi }_{e}}(\bar{r})+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }_{e}}(\bar{r}\acute{\ }) \\

& {{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}} \\

\end{align}</math>

Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung

<math>\begin{align}

& f({{{\bar{e}}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}} \\

& \bar{K}:=\bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \\

\end{align}</math>

Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials <math>V(\bar{r})</math>

Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: V=V( r)

Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math>

durch <math>\vartheta ,\phi </math>

parametrisiert werden !

<math>K=\left| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>

Die Integration <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}}</math>

erfolgt in Kugelkoordinaten um die <math>\bar{K}</math>

- Achse:

<math>\bar{K}\bar{r}\acute{\ }=Kr\acute{\ }\cos \vartheta </math>

Aus Symmetriegründen hängt <math>f({{\bar{e}}_{r}})</math>

nicht von <math>\phi </math>

ab:

<math>\begin{align}

& f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\int_{-1}^{1}{d(\cos \vartheta \acute{\ })}{{e}^{iKr\acute{\ }\cos \vartheta \acute{\ }}}\int_{0}^{2\pi }{d\phi \acute{\ }} \\

& \int_{-1}^{1}{d(\cos \vartheta \acute{\ })}{{e}^{iKr\acute{\ }\cos \vartheta \acute{\ }}}=\frac{1}{iKr\acute{\ }}\left( {{e}^{iKr\acute{\ }}}-{{e}^{-iKr\acute{\ }}} \right)=\frac{2\sin Kr\acute{\ }}{Kr\acute{\ }} \\

\end{align}</math>

Somit:

<math>\begin{align}

& f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\frac{\sin Kr\acute{\ }}{Kr\acute{\ }}=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \\

& K=2k\sin \frac{\vartheta }{2} \\

\end{align}</math>

Somit können die Wirkungsquerschnitte angegeben werden:

<math>\begin{align}

& \frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f(\vartheta ) \right|}^{2}} \\
& ->\sigma =\int_{{}}^{{}}{d\Omega }{{\left| \frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \right|}^{2}} \\
& =\int_{-1}^{1}{d\left( \cos \vartheta \right)\int_{0}^{2\pi }{d\phi }}{{\left| \frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \right|}^{2}} \\
\end{align}</math>

Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.
Dies ist die Streuung eines Z1- fach geladenen Teilchens an einem Z2- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß
<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math>

Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten.
Einzige Lösung ist das
YUKAWA- Potenzial
<math>V(r)=\begin{matrix}
\lim \\
\kappa \to 0 \\
\end{matrix}\frac{a}{r}{{e}^{-\kappa r}}</math>

Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math>

ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.
Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der ERSTEN BPORNSCHEN NÄHERUNG !!
Nebenbemerkung:
Für <math>\vartheta \to 0</math>
divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math>
wegen der unendlichen Reichweite von V( r)
Auch <math>\sigma </math>
divergiert in diesem Fall.
====Systematische Störungsentwicklung====
Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der Lippmann - Schwinger Gleichung:
<math>\begin{align}
& \left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\
& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\
\end{align}</math>

Es ergibt sich:
<math>\begin{align}
& \left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| \Phi \right\rangle =\left( 1+\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle \\
& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\
\end{align}</math>
Erste Bornsche Näherung
<math>\left| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle </math>
Zweite Bornsche Näherung
... usw.... ...
<math>\left| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left| \Phi \right\rangle </math>
Bornsche Reihe
Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:35 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>		<noinclude>{{Scripthinweis\|Quantenmechanik\|6\|3}}</noinclude>

	Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien		Die '''Bornsche Näherung''' ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien

	:<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>		:<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math>
Zeile 11:		Zeile 11:
	:<math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| \Phi \right\rangle </math>		:<math>\left\| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left\| \Phi \right\rangle </math>

	Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt !		Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt!

	{{Def\|Man nennt den Schritt		{{Def\|Man nennt den Schritt
Zeile 41:		Zeile 41:
	Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)		Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)

	Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math> durch <math>\vartheta ,\phi </math> parametrisiert werden !		Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math> durch <math>\vartheta ,\phi </math> parametrisiert werden!

	:<math>K=\left\| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right\|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>		:<math>K=\left\| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right\|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math>
Zeile 91:		Zeile 91:

	Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.		Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.
	Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung !!		Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung!!


Zeile 109:		Zeile 109:
	& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\		& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\
	\end{align}</math> (Erste Bornsche Näherung)		\end{align}</math> (Erste Bornsche Näherung)
	:<math>\left\| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Zweite Bornsche Näherung)		:<math>\left\| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left\| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left\| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Zweite Bornsche Näherung).
	... usw.... ...		.. usw.......
	:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Bornsche Reihe)		:<math>\left\| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left\| \Phi \right\rangle </math> (Bornsche Reihe)

	Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.		Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.