Bifurkationen - Versionsgeschichte

Schubotz: Änderungen von 78.245.188.131 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von 64.94.190.86 wiederhergestellt

2011-08-09T12:24:48Z

Änderungen von 78.245.188.131 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von 64.94.190.86 wiederhergestellt

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Zeile 12:		Zeile 12:
	Your aitrcle perfectly shows what I needed to know, thanks!		Your aitrcle perfectly shows what I needed to know, thanks!

	~~Aritcels like this are an example of quick~~, ~~helpful answers~~.		====A2) Transkritische Bifurkation====

			:<math>\dot{x}=\mu x-{{x}^{2}}</math>



			:<math>x*=\mu ,0</math>



			:<math>\begin{align}
			& \delta \dot{x}=\left( \mu -2x* \right)\delta x \\
			& \Rightarrow \lambda =\left\{ \begin{matrix}
			\mu \\
			-\mu \\
			\end{matrix} \right. \\
			\end{align}</math>
			Stabilitätswechsel bei µc=0



			Your article was excellent and eirdute.

78.245.188.131: /* A2) Transkritische Bifurkation */

2011-07-02T15:59:44Z

A2) Transkritische Bifurkation

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2011, 17:59 Uhr
Zeile 12:		Zeile 12:
	Your aitrcle perfectly shows what I needed to know, thanks!		Your aitrcle perfectly shows what I needed to know, thanks!

	~~====A2) Transkritische Bifurkation====~~		Aritcels like this are an example of quick, helpful answers.

	~~:<math>\dot{x}=\mu x-{{x}^{2}}</math>~~



	~~:<math>x*=\mu~~ ,~~0</math>~~



	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \delta \dot{x}=\left( \mu -2x* \right)\delta x \\~~
	~~& \Rightarrow \lambda =\left\{ \begin{matrix}~~
	~~\mu \\~~
	~~-\mu \\~~
	~~\end{matrix} \right. \\~~
	~~\end{align}</math>~~
	~~Stabilitätswechsel bei µc=0~~



	~~Your article was excellent and eirdute~~.

64.94.190.86: /* Klassifizierung einfachster Bifurkationen: */

2011-07-01T23:10:30Z

Klassifizierung einfachster Bifurkationen:

← Nächstältere Version		Version vom 2. Juli 2011, 01:10 Uhr
Zeile 10:		Zeile 10:
	Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.		Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.

	~~====Klassifizierung einfachster Bifurkationen:====~~		Your aitrcle perfectly shows what I needed to know, thanks!

	~~Extremely helpful article~~, ~~peslae write more.~~

	====A2) Transkritische Bifurkation====		====A2) Transkritische Bifurkation====

60.28.101.10: /* Eigenwert- Null - Bifurkation */

2011-07-01T22:44:58Z

Eigenwert- Null - Bifurkation

@@ Zeile 12: / Zeile 12: @@
 ====Klassifizierung einfachster Bifurkationen:====
-====Eigenwert- Null - Bifurkation====
+Extremely helpful article, peslae write more.
 ====A2) Transkritische Bifurkation====

91.82.84.228: /* A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation) */

2011-07-01T09:03:07Z

A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)

← Nächstältere Version		Version vom 1. Juli 2011, 11:03 Uhr
Zeile 70:		Zeile 70:


	~~====A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)====~~		Your article was excellent and eirdute.

	~~'''superkritisch:'''~~


	~~:<math>\dot{x}=\mu x-{{x}^{3}}</math>~~



	~~:<math>x*=\pm \sqrt{\mu },0</math>~~
	~~für~~
	~~:<math>\mu \ge 0</math>~~
	~~zwei Fixpunkte, sonst einer~~


	~~:<math>\begin{align}~~
	~~& \delta \dot{x}=\left( \mu -3x{{*}^{2}} \right)\delta x \\~~
	~~& \Rightarrow \lambda =\left\{ \begin{matrix}~~
	~~\mu \\~~
	~~-2\mu \\~~
	~~\end{matrix} \right~~. \\
	~~\end{align}</math>~~
	~~zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0~~


	~~'''subkritisch'''~~


	~~:<math>\dot{x}=\mu x+{{x}^{3}}</math>~~



	~~:<math>x*=\pm i\sqrt{\|\mu \|},0</math>~~
	~~mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten, für µ>0 existiert nur x*=0~~

	~~Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:~~

	~~# Hopf- Bifurkation~~


	~~stabiler Fokus~~
	~~:<math>\to </math>~~
	~~instabiler Fokus mit Grenzzyklus~~


	~~:<math>{{\lambda }_{1,2}}={{\lambda }_{0}}\pm i\omega </math>~~
	~~mit:~~
	~~:<math>{{\lambda }_{0}}<0\to {{\lambda }_{0}}>0</math>~~


	~~stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus~~

	~~Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus~~

	~~sei n=2:~~

	~~tr A < 0 (stabiler Fokus)~~
	~~:<math>\to </math>~~
	~~tr A > 0 (instabiler Fokus)~~

	~~(Voraussetzung: det A >0)~~

	~~mindestens n=2 nötig!~~

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (4), ( → ( (6)

2010-09-12T22:24:59Z

Interpunktion, replaced: ! → ! (4), ( → ( (6)

← Nächstältere Version		Version vom 13. September 2010, 00:24 Uhr
Zeile 4:		Zeile 4:
	Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.		Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.

	Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ( "Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).		Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ("Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).

	Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität !		Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität!

	Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.		Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.
Zeile 17:		Zeile 17:


	stabiler Fixpunkt ( Knoten) → instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für		stabiler Fixpunkt (Knoten) → instabilen Fixpunkt (Sattelpunkt für
	:<math>n\ge 2</math>		:<math>n\ge 2</math>)
	)

	detA>0 → detA<0		detA>0 → detA<0
Zeile 103:		Zeile 103:

	:<math>x*=\pm i\sqrt{\|\mu \|},0</math>		:<math>x*=\pm i\sqrt{\|\mu \|},0</math>
	mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0		mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten, für µ>0 existiert nur x*=0

	Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:		Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:
Zeile 126:		Zeile 126:
	sei n=2:		sei n=2:

	tr A < 0 ( stabiler Fokus)		tr A < 0 (stabiler Fokus)
	:<math>\to </math>		:<math>\to </math>
	tr A > 0 ( instabiler Fokus)		tr A > 0 (instabiler Fokus)

	( Voraussetzung: det A >0 )		(Voraussetzung: det A >0)

	mindestens n=2 nötig !		mindestens n=2 nötig!

>SchuBot: / Eigenwert- Null - Bifurkation */Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

2010-09-12T19:44:12Z

Eigenwert- Null - Bifurkation: Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 21:44 Uhr
Zeile 17:		Zeile 17:


	stabiler Fixpunkt ( Knoten) -> instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für		stabiler Fixpunkt ( Knoten) → instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für
	:<math>n\ge 2</math>		:<math>n\ge 2</math>
	)		)

	detA>0 -> detA<0		detA>0 → detA<0

	'''A1) Sattel- Knoten- Bifurkation'''		'''A1) Sattel- Knoten- Bifurkation'''

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:23:36Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:23 Uhr
Zeile 14:		Zeile 14:
	====Eigenwert- Null - Bifurkation====		====Eigenwert- Null - Bifurkation====

	<math>\lambda <0\to \lambda >0</math>		:<math>\lambda <0\to \lambda >0</math>


	stabiler Fixpunkt ( Knoten) -> instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für		stabiler Fixpunkt ( Knoten) -> instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für
	<math>n\ge 2</math>		:<math>n\ge 2</math>
	)		)

Zeile 28:		Zeile 28:


	<math>\dot{x}=\mu -{{x}^{2}}</math>		:<math>\dot{x}=\mu -{{x}^{2}}</math>



	<math>x*=\pm \sqrt{\mu }</math>		:<math>x*=\pm \sqrt{\mu }</math>
	Fixpunkte existieren also nur für		Fixpunkte existieren also nur für
	<math>\mu \ge 0</math>		:<math>\mu \ge 0</math>



	<math>\delta \dot{x}=-2x*\delta x</math>		:<math>\delta \dot{x}=-2x*\delta x</math>


Zeile 44:		Zeile 44:


	<math>{{\lambda }_{1}}>0</math> und <math>{{\lambda }_{2}}<0</math>		:<math>{{\lambda }_{1}}>0</math> und <math>{{\lambda }_{2}}<0</math>
	für		für
	<math>x*=\pm \sqrt{\mu }</math>		:<math>x*=\pm \sqrt{\mu }</math>


	====A2) Transkritische Bifurkation====		====A2) Transkritische Bifurkation====

	<math>\dot{x}=\mu x-{{x}^{2}}</math>		:<math>\dot{x}=\mu x-{{x}^{2}}</math>



	<math>x*=\mu ,0</math>		:<math>x*=\mu ,0</math>



	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \delta \dot{x}=\left( \mu -2x* \right)\delta x \\		& \delta \dot{x}=\left( \mu -2x* \right)\delta x \\
	& \Rightarrow \lambda =\left\{ \begin{matrix}		& \Rightarrow \lambda =\left\{ \begin{matrix}
Zeile 75:		Zeile 75:


	<math>\dot{x}=\mu x-{{x}^{3}}</math>		:<math>\dot{x}=\mu x-{{x}^{3}}</math>



	<math>x*=\pm \sqrt{\mu },0</math>		:<math>x*=\pm \sqrt{\mu },0</math>
	für		für
	<math>\mu \ge 0</math>		:<math>\mu \ge 0</math>
	zwei Fixpunkte, sonst einer		zwei Fixpunkte, sonst einer


	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \delta \dot{x}=\left( \mu -3x{{*}^{2}} \right)\delta x \\		& \delta \dot{x}=\left( \mu -3x{{*}^{2}} \right)\delta x \\
	& \Rightarrow \lambda =\left\{ \begin{matrix}		& \Rightarrow \lambda =\left\{ \begin{matrix}
Zeile 98:		Zeile 98:


	<math>\dot{x}=\mu x+{{x}^{3}}</math>		:<math>\dot{x}=\mu x+{{x}^{3}}</math>



	<math>x*=\pm i\sqrt{\|\mu \|},0</math>		:<math>x*=\pm i\sqrt{\|\mu \|},0</math>
	mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0		mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0

Zeile 111:		Zeile 111:

	stabiler Fokus		stabiler Fokus
	<math>\to </math>		:<math>\to </math>
	instabiler Fokus mit Grenzzyklus		instabiler Fokus mit Grenzzyklus


	<math>{{\lambda }_{1,2}}={{\lambda }_{0}}\pm i\omega </math>		:<math>{{\lambda }_{1,2}}={{\lambda }_{0}}\pm i\omega </math>
	mit:		mit:
	<math>{{\lambda }_{0}}<0\to {{\lambda }_{0}}>0</math>		:<math>{{\lambda }_{0}}<0\to {{\lambda }_{0}}>0</math>


Zeile 127:		Zeile 127:

	tr A < 0 ( stabiler Fokus)		tr A < 0 ( stabiler Fokus)
	<math>\to </math>		:<math>\to </math>
	tr A > 0 ( instabiler Fokus)		tr A > 0 ( instabiler Fokus)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

2010-09-12T15:03:01Z

Einrückungen Mathematik

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 17:03 Uhr
Zeile 44:		Zeile 44:


	<math>{{\lambda }_{1}}>0</math>		<math>{{\lambda }_{1}}>0</math> und <math>{{\lambda }_{2}}<0</math>
	und
	<math>{{\lambda }_{2}}<0</math>
	für		für
	<math>x*=\pm \sqrt{\mu }</math>		<math>x*=\pm \sqrt{\mu }</math>

Schubotz: /* Deterministisches Chaos */

2010-08-28T22:52:31Z

Deterministisches Chaos

Änderungen zeigen

Bifurkationen - Versionsgeschichte

Schubotz: Änderungen von 78.245.188.131 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von 64.94.190.86 wiederhergestellt

78.245.188.131: /* A2) Transkritische Bifurkation */

64.94.190.86: /* Klassifizierung einfachster Bifurkationen: */

60.28.101.10: /* Eigenwert- Null - Bifurkation */

91.82.84.228: /* A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation) */

*>SchuBot: Interpunktion, replaced: ! → ! (4), ( → ( (6)

*>SchuBot: /* Eigenwert- Null - Bifurkation */Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

*>SchuBot: Einrückungen Mathematik

Schubotz: /* Deterministisches Chaos */

>SchuBot: / Eigenwert- Null - Bifurkation */Pfeile einfügen, replaced: -> → → (2)