Affinier Raum - Versionsgeschichte

*>SchuBot: Mathematik einrücken

2010-09-12T16:07:12Z

Mathematik einrücken

← Nächstältere Version		Version vom 12. September 2010, 18:07 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper		Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper
	<math>K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right)</math>		:<math>K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right)</math>
	ist ein Tripel,		ist ein Tripel,
	[A.1]		[A.1]
	<math>\left( X,T,\tau \right)</math>		:<math>\left( X,T,\tau \right)</math>

	wobei		wobei
	X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)		X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)
	<math>T:=\left( {{T}_{M}},+:{{T}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}},\centerdot :{{K}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}} \right)</math>sei ein K-Vektorraum		:<math>T:=\left( {{T}_{M}},+:{{T}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}},\centerdot :{{K}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}} \right)</math>sei ein K-Vektorraum

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \tau :{{T}_{M}}\times X\to X \\		& \tau :{{T}_{M}}\times X\to X \\
	& \left( t,x \right)\to t+x \\		& \left( t,x \right)\to t+x \\
Zeile 17:		Zeile 17:
	Beispiel:		Beispiel:

	<math>\begin{matrix}		:<math>\begin{matrix}
	K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right) \\		K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right) \\
	X:=\text{ K}_{\text{M}}^{\text{n}} \\		X:=\text{ K}_{\text{M}}^{\text{n}} \\
Zeile 40:		Zeile 40:
	1.1.3 Abkürzende Schreibweise		1.1.3 Abkürzende Schreibweise
	In jedem affinen Raum		In jedem affinen Raum
	<math>\left( X,T,\tau \right)</math>		:<math>\left( X,T,\tau \right)</math>
	existiert zu allen <math>x,y\in X</math>ein eindeutig bestimmtes <math>\overrightarrow{xy}\in {{T}_{M}}</math>für das gilt <math>\overrightarrow{xy}+x=y</math>.		existiert zu allen <math>x,y\in X</math>ein eindeutig bestimmtes <math>\overrightarrow{xy}\in {{T}_{M}}</math>für das gilt <math>\overrightarrow{xy}+x=y</math>.
	Beweis: <math>\tau </math>ist einfach transitiv.		Beweis: <math>\tau </math>ist einfach transitiv.
Zeile 47:		Zeile 47:
	wobei – in der Gruppe<math>\left( {{T}_{m}},+ \right)</math> des Vektorraums T wie folgt definiert ist:		wobei – in der Gruppe<math>\left( {{T}_{m}},+ \right)</math> des Vektorraums T wie folgt definiert ist:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& -:{{T}_{m}}\times {{T}_{m}}\to {{T}_{m}} \\		& -:{{T}_{m}}\times {{T}_{m}}\to {{T}_{m}} \\
	& \left( t,{t}' \right)\to t+\left( -{t}' \right) \\		& \left( t,{t}' \right)\to t+\left( -{t}' \right) \\
Zeile 55:		Zeile 55:
	Beweis:		Beweis:

	<math>\begin{align}		:<math>\begin{align}
	& \overrightarrow{xy}+x=y\wedge \overrightarrow{yx}+y=x \\		& \overrightarrow{xy}+x=y\wedge \overrightarrow{yx}+y=x \\
	& \Leftrightarrow \overrightarrow{xy}+\left( \overrightarrow{yx}+y \right)=y \\		& \Leftrightarrow \overrightarrow{xy}+\left( \overrightarrow{yx}+y \right)=y \\
Zeile 64:		Zeile 64:
	==Dimension==		==Dimension==
	[A.2]		[A.2]
	<math>\left\{ \begin{matrix}		:<math>\left\{ \begin{matrix}
	-1\text{ falls X=}\varnothing \\		-1\text{ falls X=}\varnothing \\
	Di{{m}_{k}}T\text{ sonst}\text{.} \\		Di{{m}_{k}}T\text{ sonst}\text{.} \\

Schubotz am 14. April 2010 um 21:05 Uhr

2010-04-14T21:05:30Z

← Nächstältere Version		Version vom 14. April 2010, 23:05 Uhr
Zeile 1:		Zeile 1:
	Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper		Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper
	<math>K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right)</math>		<math>K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right)</math>
	ist ein Tripel,		ist ein Tripel,
	[A.1]		[A.1]
	<math>\left( X,T,\tau \right)</math>		<math>\left( X,T,\tau \right)</math>

	wobei		wobei
	X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)		X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)
	<math>T:=\left( {{T}_{M}},+:{{T}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}},\centerdot :{{K}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}} \right)</math>sei ein K-Vektorraum		<math>T:=\left( {{T}_{M}},+:{{T}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}},\centerdot :{{K}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}} \right)</math>sei ein K-Vektorraum

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \tau :{{T}_{M}}\times X\to X \\		& \tau :{{T}_{M}}\times X\to X \\
	& \left( t,x \right)\to t+x \\		& \left( t,x \right)\to t+x \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
	eine einfach transitive Operation von der Gruppe <math>\left( {{T}_{M}},+ \right)</math>des Vektorraums T auf der Menge X		eine einfach transitive Operation von der Gruppe <math>\left( {{T}_{M}},+ \right)</math>des Vektorraums T auf der Menge X

	Beispiel:		Beispiel:

	<math>\begin{matrix}		<math>\begin{matrix}
	K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right) \\		K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right) \\
	X:=\text{ K}_{\text{M}}^{\text{n}} \\		X:=\text{ K}_{\text{M}}^{\text{n}} \\
	T:=\left( K_{M}^{n},+,\centerdot \right) \\		T:=\left( K_{M}^{n},+,\centerdot \right) \\
	\tau :K_{M}^{n}\times K_{M}^{n}\to K_{M}^{n} \\		\tau :K_{M}^{n}\times K_{M}^{n}\to K_{M}^{n} \\
	\left( t,x \right)\to t+x\text{ hier sei }+=+ \\		\left( t,x \right)\to t+x\text{ hier sei }+=+ \\
	\left( \left( \begin{align}		\left( \left( \begin{align}
	& {{t}_{1}} \\		& {{t}_{1}} \\
	& \vdots \\		& \vdots \\
	& {{t}_{n}} \\		& {{t}_{n}} \\
	\end{align} \right),\left( \begin{align}		\end{align} \right),\left( \begin{align}
	& {{x}_{1}} \\		& {{x}_{1}} \\
	& \vdots \\		& \vdots \\
	& {{x}_{n}} \\		& {{x}_{n}} \\
	\end{align} \right) \right)\to \left( \begin{align}		\end{align} \right) \right)\to \left( \begin{align}
	& {{t}_{1}}+{{x}_{1}} \\		& {{t}_{1}}+{{x}_{1}} \\
	& \quad \vdots \\		& \quad \vdots \\
	& {{t}_{n}}+{{x}_{n}} \\		& {{t}_{n}}+{{x}_{n}} \\
	\end{align} \right) \\		\end{align} \right) \\
	\end{matrix}</math>		\end{matrix}</math>

	1.1.3 Abkürzende Schreibweise		1.1.3 Abkürzende Schreibweise
	In jedem affinen Raum		In jedem affinen Raum
	<math>\left( X,T,\tau \right)</math>		<math>\left( X,T,\tau \right)</math>
	existiert zu allen <math>x,y\in X</math>ein eindeutig bestimmtes <math>\overrightarrow{xy}\in {{T}_{M}}</math>für das gilt <math>\overrightarrow{xy}+x=y</math>.		existiert zu allen <math>x,y\in X</math>ein eindeutig bestimmtes <math>\overrightarrow{xy}\in {{T}_{M}}</math>für das gilt <math>\overrightarrow{xy}+x=y</math>.
	Beweis: <math>\tau </math>ist einfach transitiv.		Beweis: <math>\tau </math>ist einfach transitiv.
	Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y.		Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y.
	Außerdem ist <math>\overrightarrow{xy}=-\overrightarrow{yx}</math>		Außerdem ist <math>\overrightarrow{xy}=-\overrightarrow{yx}</math>
	wobei – in der Gruppe<math>\left( {{T}_{m}},+ \right)</math> des Vektorraums T wie folgt definiert ist:		wobei – in der Gruppe<math>\left( {{T}_{m}},+ \right)</math> des Vektorraums T wie folgt definiert ist:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& -:{{T}_{m}}\times {{T}_{m}}\to {{T}_{m}} \\		& -:{{T}_{m}}\times {{T}_{m}}\to {{T}_{m}} \\
	& \left( t,{t}' \right)\to t+\left( -{t}' \right) \\		& \left( t,{t}' \right)\to t+\left( -{t}' \right) \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

Zeile 56:		Zeile 56:

	<math>\begin{align}		<math>\begin{align}
	& \overrightarrow{xy}+x=y\wedge \overrightarrow{yx}+y=x \\		& \overrightarrow{xy}+x=y\wedge \overrightarrow{yx}+y=x \\
	& \Leftrightarrow \overrightarrow{xy}+\left( \overrightarrow{yx}+y \right)=y \\		& \Leftrightarrow \overrightarrow{xy}+\left( \overrightarrow{yx}+y \right)=y \\
	& \overbrace{\Leftrightarrow }^{\left[ \text{O}\text{.1} \right]}\left( \overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx} \right)+y=y \\		& \overbrace{\Leftrightarrow }^{\left[ \text{O}\text{.1} \right]}\left( \overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx} \right)+y=y \\
	& \overbrace{\Leftrightarrow }^{\left[ \text{O}\text{.2} \right]}\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx}=0\in {{T}_{M}} \\		& \overbrace{\Leftrightarrow }^{\left[ \text{O}\text{.2} \right]}\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx}=0\in {{T}_{M}} \\
	\end{align}</math>		\end{align}</math>

	~~1.2~~ Dimension		==Dimension==
	[A.2]		[A.2]
	<math>\left\{ \begin{matrix}		<math>\left\{ \begin{matrix}
	-1\text{ falls X=}\varnothing \\		-1\text{ falls X=}\varnothing \\

Schubotz: Die Seite wurde neu angelegt: „Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper $K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right)$ ist ein Tripel, [A.1] $\left( X,T,\tau \right)$
2010-04-14T21:03:55Z

Die Seite wurde neu angelegt: „Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper <math>K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right)</math> ist ein Tripel, [A.1] <math>\left( X,T,\tau \right)</…“

Neue Seite
Ein affiner Raum über einem vorgegebenen Körper
<math>K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right)</math>
ist ein Tripel,
[A.1]
<math>\left( X,T,\tau \right)</math>

wobei
X sei eine Menge (die Menge der Raumpunkte)
<math>T:=\left( {{T}_{M}},+:{{T}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}},\centerdot :{{K}_{M}}\times {{T}_{M}}\to {{T}_{M}} \right)</math>sei ein K-Vektorraum

<math>\begin{align}
& \tau :{{T}_{M}}\times X\to X \\
& \left( t,x \right)\to t+x \\
\end{align}</math>
eine einfach transitive Operation von der Gruppe <math>\left( {{T}_{M}},+ \right)</math>des Vektorraums T auf der Menge X

Beispiel:

<math>\begin{matrix}
K:=\left( {{K}_{M}},+,\centerdot \right) \\
X:=\text{ K}_{\text{M}}^{\text{n}} \\
T:=\left( K_{M}^{n},+,\centerdot \right) \\
\tau :K_{M}^{n}\times K_{M}^{n}\to K_{M}^{n} \\
\left( t,x \right)\to t+x\text{ hier sei }+=+ \\
\left( \left( \begin{align}
& {{t}_{1}} \\
& \vdots \\
& {{t}_{n}} \\
\end{align} \right),\left( \begin{align}
& {{x}_{1}} \\
& \vdots \\
& {{x}_{n}} \\
\end{align} \right) \right)\to \left( \begin{align}
& {{t}_{1}}+{{x}_{1}} \\
& \quad \vdots \\
& {{t}_{n}}+{{x}_{n}} \\
\end{align} \right) \\
\end{matrix}</math>

1.1.3 Abkürzende Schreibweise
In jedem affinen Raum
<math>\left( X,T,\tau \right)</math>
existiert zu allen <math>x,y\in X</math>ein eindeutig bestimmtes <math>\overrightarrow{xy}\in {{T}_{M}}</math>für das gilt <math>\overrightarrow{xy}+x=y</math>.
Beweis: <math>\tau </math>ist einfach transitiv.
Diese Schreibweise gelte ab jetzt für alle Ausdrücke für x und y.
Außerdem ist <math>\overrightarrow{xy}=-\overrightarrow{yx}</math>
wobei – in der Gruppe<math>\left( {{T}_{m}},+ \right)</math> des Vektorraums T wie folgt definiert ist:

<math>\begin{align}
& -:{{T}_{m}}\times {{T}_{m}}\to {{T}_{m}} \\
& \left( t,{t}' \right)\to t+\left( -{t}' \right) \\
\end{align}</math>

Dabei ist <math>\left( -t \right)+t=0\in {{T}_{M}}\forall t\in {{T}_{M}}</math>
Beweis:

<math>\begin{align}
& \overrightarrow{xy}+x=y\wedge \overrightarrow{yx}+y=x \\
& \Leftrightarrow \overrightarrow{xy}+\left( \overrightarrow{yx}+y \right)=y \\
& \overbrace{\Leftrightarrow }^{\left[ \text{O}\text{.1} \right]}\left( \overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx} \right)+y=y \\
& \overbrace{\Leftrightarrow }^{\left[ \text{O}\text{.2} \right]}\overrightarrow{xy}+\overrightarrow{yx}=0\in {{T}_{M}} \\
\end{align}</math>

1.2 Dimension
[A.2]
<math>\left\{ \begin{matrix}
-1\text{ falls X=}\varnothing \\
Di{{m}_{k}}T\text{ sonst}\text{.} \\
\end{matrix} \right.</math>

Die Dimension des affinen Raums ist gleich der des enthaltenden Vektorraums T.
Falls die Menge leer ist, ist die Dimension -1.

[[Kategorie:Affine Geometrie]]